vektörler

vektörler

2020-09-30 19:59:24

wisharedom

152

759

3 dakika 2 saniye

Vektörler

Skaler büyüklüklerin aksine vektörlerin bir yönü vardır. Örneğin A kişisinin hızı doğu yönünde 10 km saat deriz ancak bir kişinin kütlesinden bahsederken bir yön belirtmeyiz. Vektörlerin sembollerini yazarken genellikle kalın (bold) olarak yazarız ve sembolün üstüne → sembolünü çizeriz/koyarız. Bu yazıda vektörleri sadece kalın olarak yazacağız.

Birim Vektör

Büyüklüğü 1 (bir) birim olan ve x, y ve z eksenleri üzerinde bulunan vektörlere birim vektör denir. ekseni üzerindeki birim vektörü i, ekseni üzerindekini j, ekseni üzerindekini ise k olarak gösteririz.

3. boyutta vektörler ve işlemleri

Vektörlerin gösterimi

Vektörleri, eksenler üzerindeki birim vektörleri ve onların büyükleriyle birlikte yazarız. Elimizde vektörü olsun ve v vektörünün x eksenindeki büyüklüğü 1, y eksenindeki büyüklüğü 2, z eksenindeki büyüklüğü ise -3 olsun. v vektörünü v = 1i + 2j + (-3)k şeklinde gösteririz. Aynı şekilde bir u vektörü düşünelim ve u vektörünün x eksenindeki büyüklüğü -6, y eksenindeki büyüklüğü 2, z eksenindeki büyüklüğü ise 3 olsun. u vektörünü  u = (-6)i + 2j + 3k şeklinde gösteririz.

 

Vektörlerde Toplama

İki veya daha fazla vektörü toplarken vektörlerin x, y veeksenlerini birbirleriyle toplar ve yeni vektörün bileşenleri olarak toplamları yazarız. Vektörlerin hangi sırayla toplandığının bir önemi yoktur.

ve vektörlerini düşünelim:

v + u = (1+(-6))i + (2+2)j + ((-3)+3)k = -5i + 4j + 0k olur. 

 

Vektörlerde Çıkarma

Vektörlerde çıkarma aynı vektörlerde toplama işlemi gibidir. Çıkartılacak vektörü - ile çarpılmış olarak düşünürüz ve toplama işlemi uygularız. Yine v vevektörlerini düşünelim:

v - u = v + (-u) = (1 + (-(-6)))i + (2 + (-(2)))j + (-3 + (-(3)))k = 7i + 0j + (-6)k olur.

 

Vektörlerde Çarpım

Vektörlerde iki çarpım işlemi vardır. Çapraz çarpım ve Nokta çarpım.

Nokta çarpımı

İşlemin sonucu skalerdir ve nokta çarpım yapılan iki vektörün aynı yüzeyde bulunması gerekmektedir. Nokta çarpımı aynı zamanda skaler çarpım olarak da adlandırılır. Nokta çarpımı iki vektörün aynı yöndeki bileşenlerinin çarpımlarının toplamı olarak söylenir. Nokta çarpımı • sembolüyle gösterilir. Yine v ve vektörlerini düşünelim:

v • u = 1*(-6) + 2*2 + (-3)*3 = -11

Çapraz çarpım

İşlemin sonucu bir vektördür ve çapraz çarpım yapılan iki vektöre 3. boyutta diktir. Yönünü belirlemek için sağ el kuralı uygulanır. Bu işlem determinant ile gösterilir. ve vektörlerinin çapraz çarpımı:

v × u = \begin{vmatrix} i &j &k \\ 1& 2 &-3 \\ -6&2 &3 \end{vmatrix}


Sonuç vektörünün i bileşenini bulmak için i'nin olduğu sütun ve satırı görmezden geliriz ve geriye kalan determinantı hesaplarız. Diğer bileşenler için de aynı yöntem uygulanır:

v × u = ((2*3) - (2*(-3)))i + ((1*3)-(-6*-3))j + ((1*2)-(2*-6))k = 12i + (-15)j + 14k olur.